Resumo: Neste trabalho, empregaremos diversas técnicas decorrentes da Teoria dos Grupos e da Teoria dos Corpos, como também algumas ferramentas analíticas e alguns tópicos introdutórios de álgebra comutativa, para estudarmos os grupos aditivos e multiplicativos de anéis e corpos. Em nossa abordagem, além do estudo de anéis particulares, apresentaremos propriedades interessantes de grupos aditivos e multiplicativos de anéis, bem como condições necessárias e/ou suficientes para que determinado grupo seja grupo aditivo ou grupo multiplicativo de algum corpo ou anel com unidade. Além disso, utilizando estas propriedades e a classificação dos grupos de ordem menor do que ou igual a 11, determinaremos quais desses grupos são grupos multiplicativos de algum anel.